Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai logika matematika umum. Soal juga sudah tersedia dalam berkas PDF yang dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF. Semoga dapat dijadikan referensi untuk belajar. Quote by Bruce Lee Jika Anda menghabiskan terlalu banyak waktu untuk memikirkan sesuatu, maka Anda tidak akan pernah menyelesaikannya. Buatlah setidaknya satu gerakan yang pasti setiap harinya untuk mencapai tujuan Anda. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah $\cdots \cdot$ A. BSSS D. SSSB B. SBSS E. SSSS C. SSBS Pembahasan Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, dan kolom terakhir untuk $\neg p\, \land q.$ Pernyataan konjungsi akan bernilai BENAR ketika $\neg p$ dan $q$ keduanya bernilai BENAR. Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah SSBS dibaca dari atas ke bawah. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow q \lor \neg p$ adalah $\cdots \cdot$ A. BSSS D. BBBS B. BSBB E. SSSB C. SSBB Pembahasan Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, kolom keempat untuk $q \lor \neg p$, dan kolom terakhir untuk $p \Leftrightarrow q \lor \neg p.$ Pernyataan biimplikasi akan bernilai BENAR ketika $p$ dan $q \lor \neg p$ keduanya memiliki nilai kebenaran yang sama. Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow q \lor \neg p$ adalah BSSS dibaca dari atas ke bawah. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Jika $p$ bernilai benar dan $q$ bernilai salah, maka pernyataan majemuk di bawah ini yang tidak bernilai benar adalah $\cdots \cdot$ A. $p \lor q$ B. $p\, \land \neg q$ C. $\neg p \Rightarrow q$ D. $\neg p\, \land q$ E. $\negp \Rightarrow q$ Pembahasan Diketahui $p$ benar B dan $q$ salah S. Cek semua opsi yang ada. $$\begin{array}{ccc} \hline \text{Pernyataan} & \text{Pernyataan B/S} & \text{Nilai Kebenaran} \\ \hline p \lor q & \text{B} \lor \text{S} & \text{B} \\ p\, \land \neg q & \text{B}\, \land \neg \text{B} & \text{B} \\ \neg p \Rightarrow q & \text{S} \Rightarrow \text{S} & \text{B} \\ \neg p \, \land q & \text{S}\, \land \text{S} & \text{S} \\ \negp \Rightarrow q & \neg\text{B} \Rightarrow S & \text{B} \\ \hline \end{array}$$Jadi, pernyataan majemuk yang tidak bernilai benar adalah $\boxed{\neg p\, \land q}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika Soal Nomor 4 Manakah dari pernyataan majemuk berikut yang bernilai salah? $3^3 = 27$ atau $3^2 = 8.$ $11$ adalah bilangan prima atau $10$ adalah bilangan kelipatan $5.$ Sudut lancip kurang dari $90^\circ$ atau $5^3 = 25$ Denpasar ada di Bali atau Surabaya merupakan ibu kota Jawa Tengah. Tahun kabisat terdiri dari $365$ hari atau satu tahun terdiri dari 52 minggu. Pembahasan Semua pernyataan majemuk di atas dihubungkan oleh disjungsi dan akan bernilai benar ketika “cukup” salah satu pernyataan tunggal bernilai benar. Cek opsi A $$\begin{aligned} p &~3^3 = 27~~\text{B} \\ q &~3^2 = 8~~\text{S} \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar. Cek Opsi B $$\begin{aligned} p &~11~\text{adalah bilangan prima}~~\text{B} \\ q &~10~\text{adalah bilangan kelipatan 5}~~\text{B} \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar. Cek Opsi C $$\begin{aligned} p &~\text{Sudut lancip kurang dari}~ 90^\circ~~\text{B} \\ q &~5^3 = 25~~\text{S} \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar. Cek Opsi D $$\begin{aligned} p &~\text{Denpasar ada di Bali}~~\text{B} \\ q &~\text{Surabaya merupakan ibu kota Jawa Tengah}~~\text{S} \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar. Cek Opsi E $$\begin{aligned} p &~\text{Tahun kabisat ada 365 hari}~~\text{S} \\ q &~\text{Satu tahun terdiri dari 52 minggu}~~\text{S} \end{aligned}$$Karena kedua pernyataan tunggal bernilai salah, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai salah. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 5 Ingkaran dari pernyataan $2 x$ dan $x x > 10$ C. $x \le 2$ atau $x > 10$ D. $x \le 2$ dan $x > 10$ E. $2 \le x > 10$ Pembahasan Pernyataan $2 2$ dan $x \le 10$ sehingga diperoleh pernyataan konjungsi. Ingkaran dari $p \, \land q$ adalah $$\boxed{\negp \, \land q \equiv \neg p \lor \neg q}$$Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} p &~x > 2 \\ q &~x \le 10 \\ \neg p &~x \le 2 \\ \neg q &~x > 10 \end{aligned}$$Jadi, ingkarannya adalah $$\boxed{\neg p \lor \neg q ~x \le 2~\text{atau}~x > 10}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 Negasi dari pernyataan “Untuk setiap nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$” adalah $\cdots \cdot$ Untuk semua nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$ Untuk sebagian nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$ Untuk setiap nilai $x$, tidak berlaku $x^2 = x \cdot x$ Ada nilai $x$ yang tidak berlaku $x^2 = x \cdot x$ Ada nilai $x$ yang berlaku $x^2 = x \cdot x$ Pembahasan Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor universal setiap dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor eksistensial ada. $$\begin{aligned} p &~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{setiap}}~\text{nilai}~x,~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p&~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{sebagian}}~\text{nilai}~x,~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{nilai}~x~\text{yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \end{aligned}$$Jadi, negasi dari pernyataan tersebut adalah “Ada nilai $x$ yang tidak berlaku $x^2 = x \cdot x.$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika Soal Nomor 7 Ingkaran dari pernyataan “Ada siswa SMK yang tidak harus mengikuti praktik kerja industri” adalah $\cdots \cdot$ Ada siswa SMK yang tidak mengikuti praktik kerja industri Semua siswa SMK tidak mengikuti praktik kerja industri Ada siswa SMK yang mengikuti praktik kerja industri Semua siswa SMK harus mengikuti praktik kerja industri Tidak ada siswa SMK yang tidak mengikuti praktik kerja industri Pembahasan Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor eksistensial ada dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor universal semua. $$\begin{aligned} p &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{siswa SMK yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{harus mengikuti praktik kerja industri} \\ \neg p &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{siswa SMK harus mengikuti praktik kerja industri} \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Pernyataan yang setara dengan “Jika UMR naik, maka semua harga sembako naik” adalah $\cdots \cdot$ Jika UMR tidak naik, maka semua harga sembako tidak naik Jika UMR tidak naik, maka ada harga sembako yang tidak naik Jika ada harga sembako yang tidak naik, maka UMR tidak naik Jika semua harga sembako tidak naik, maka UMR tidak naik Jika ada harga sembako yang naik, maka UMR tidak naik Pembahasan Pernyataan yang senilai ekuivalen dengan bentuk implikasi adalah kontrapositifnya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} p &~\text{UMR naik} \\ q &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{harga sembako naik} \\ \neg p &~\text{UMR tidak naik} \\ \neg q &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{harga sembako yang tidak naik} \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika ada harga sembako yang tidak naik, maka UMR tidak naik.” Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Pernyataan yang setara dengan “Jika $2 \times 3 = 6$, maka $2+3 = 5$ adalah $\cdots \cdot$ Jika $2 \times 3 = 6$, maka $2+3 \neq 5$ Jika $2 \times 3 \neq 6$, maka $2+3 = 5$ Jika $2+ 3 = 5$, maka $2 \times 3 = 6$ Jika $2+ 3 \neq 5$, maka $2 \times 3 \neq 6$ Jika $2+ 3 = 5$, maka $2 \times 3 \neq 6$ Pembahasan Pernyataan yang senilai ekuivalen dengan bentuk implikasi adalah kontrapositifnya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} p &~2 \times 3 = 6 \\ q &~2 + 3 = 5 \\ \neg p &~2 \times 3 \neq 6 \\ \neg q &~2 + 3 \neq 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika $2+3 \neq 5$, maka $2 \times 3 \neq 6.$” Jawaban D [collapse] Soal Nomor 10 Konvers dari “Jika $n$ bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ ganjil” adalah $\cdots \cdot$ Jika $n$ ganjil, maka $n$ bilangan prima lebih dari $2$ Jika $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ ganjil Jika $n$ bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ bukan ganjil Jika $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ bukan ganjil Jika $n$ bukan ganjil, maka $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$ Pembahasan Konvers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p.$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} p &~n~\text{bilangan prima lebih dari 2} \\ q &~n~\text{ganjil} \end{aligned}$$Jadi, konversnya adalah “Jika $n$ ganjil, maka $n$ bilangan prima lebih dari $2$.” Jawaban A [collapse] Baca Juga Pembuktian dengan Menggunakan Kontradiksi Soal Nomor 11 Dari pernyataan “Jika $2 \times 4 = 8$, maka $7 \le 8$”, inversnya adalah $\cdots \cdot$ Jika $2 \times 4 = 8$, maka $7 > 8$ Jika $2 \times 4 \neq 8$, maka $7 > 8$ Jika $7 > 8$, maka $2 \times 4 \neq 8$ Jika $7 8 \end{aligned}$$Jadi, inversnya adalah “Jika $2 \times 4 \neq 8$, maka $7 > 8$.” Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Kontrapositif dari pernyataan “Jika $x$ bilangan bulat, maka $x^2 + 2 > 11$” adalah $\cdots \cdot$ Jika $x^2 + 2 \ge 11$, maka $x$ bilangan bulat Jika $x^2 + 2 \le 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat Jika $x^2+2 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat Jika $x^2 + 2 11 \\ \neg p &~x~\text{bukan bilangan bulat} \\ \neg q &~x^2 + 2 \le 11 \end{aligned}$$Jadi, kontrapositifnya adalah “Jika $x^2 + 2 \le 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat.” Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Pernyataan biimplikasi “$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan asli lebih dari 4” bernilai salah. Banyak nilai $x$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $4$ E. $\infty$ B. $1$ D. $10$ Pembahasan “$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional” adalah pernyataan yang salah. Agar pernyataan biimplikasi bernilai benar, maka pernyataan tunggal kedua harus salah juga. Oleh karena itu, $x$ yang dipilih tidak boleh merupakan bilangan asli lebih dari $4$. Dengan kata lain, akan ada tak terhingga bilangan lain yang dapat dipilih untuk nilai $x$. Jawaban E [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup Soal Nomor 14 Negasi dari “2 > 5 jika dan hanya jika 5 1$ $2 5 \\ q &~5 5~\text{jika dan hanya jika}~5 \ge 1 \end{aligned}$$Berdasarkan opsi yang diberikan, jawaban yang tepat adalah D. [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. Semua hewan berkaki empat. Ada ikan yang bernapas dengan paru-paru. Ada manusia yang tidak dapat hidup di daerah pegunungan. Semua siswa SMK tidak dapat melanjutkan ke perguruan tinggi. $3 + 12 \div 4 0.$ Luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi $3$ jika dan hanya jika $3^2 = 9.$ Pernyataan biimplikasi bernilai benar ketika dua pernyataan tunggal penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama. Pembahasan Jawaban a $$3 \times 5 = 15~\text{jika dan hanya jika}~12 \div 4 0.$$Perhatikan bahwa Canberra memang ibu kota Australia dan $5^2-5 = 20 > 0$. Karena kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama keduanya benar, maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai benar. Jawaban c $$\text{Luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 3 jika dan hanya jika}~3^2 = 9.$$Perhatikan bahwa seharusnya luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 2 sehingga pernyataan pertama bernilai salah, tetapi $3^2 = 9$ adalah pernyataan yang benar. Karena memiliki nilai kebenaran yang berbeda satunya benar, satunya salah, maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai salah. [collapse] Soal Nomor 8 Terdapat $3$ orang yang mengikuti suatu tes, sebutlah $\mathcal{A}, \mathcal{B},$ dan $\mathcal{C}.$ Jika di antara ketiganya, $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi, maka nilai $\mathcal{C}$ yang paling tinggi. Jika di antara ketiganya, nilai $\mathcal{C}$ bukan yang terendah, maka $\mathcal{B}$ yang memperoleh nilai tertinggi. Apakah kita dapat menentukan urutan nilai tes dari ketiga orang itu secara pasti? Pembahasan Kita akan membagi penyelesaian soal ini menjadi dua kasus i $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi dan ii $\mathcal{A}$ mendapatkan nilai tertinggi. Kasus i $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi berakibat bahwa nilai $\mathcal{C}$ yang paling tinggi. Ini berarti nilai $\mathcal{C}$ bukan yang terendah sehingga $\mathcal{B}$ memperoleh nilai tertinggi. Terjadi kontradiksi karena sebelumnya kita peroleh bahwa $\mathcal{C}$-lah yang paling tinggi. Kasus ii $\mathcal{A}$ mendapatkan nilai tertinggi. Jika $\mathcal{C}$ tidak memperoleh nilai terendah, maka $B$ memperoleh nilai tertinggi sehingga terjadi kontradiksi kembali. Jadi, $\mathcal{C}$ harus memperoleh nilai terendah yang berakibat bahwa nilai $\mathcal{B}$ berada pada urutan kedua. Jadi, kita dapat menentukan urutan nilai tes dari ketiga orang itu secara pasti, yaitu $\mathcal{A}, \mathcal{B},$ dan $\mathcal{C}$ tertinggi ke terendah. [collapse]